Глава 1 Измерения и погрешности

Рассмотрим простейший пример: измерение длины стержня с помощью линейки. Линейка проградуирована производителем с помощью некоторого эталона длины — таким образом, сравнивая длину стержня с ценой деления линейки, мы выполняем косвенное сравнение с общепринятым стандартным эталоном.

Допустим, мы приложили линейку к стержню и увидели на шкале некоторый результат $x=x_{\text{изм}}$. Можно ли утверждать, что $x_{\text{изм}}$ — это длина стержня?

Во-первых, значение $x$ не может быть задано точно, хотя бы потому, что оно обязательно округлено до некоторой значащей цифры: если линейка «обычная», то у неё есть цена деления; а если линейка, к примеру, «лазерная» — у неё высвечивается конечное число значащих цифр на дисплее.

Во-вторых, мы никак не можем быть уверенны, что длина стержня на самом деле такова хотя бы с точностью до ошибки округления. Действительно, мы могли приложить линейку не вполне ровно; сама линейка могла быть изготовлена не вполне точно; стержень может быть не идеально цилиндрическим и т.п.

И, наконец, если пытаться хотя бы гипотетически переходить к бесконечной точности измерения, теряет смысл само понятие «длины стержня». Ведь на масштабах атомов у стержня нет чётких границ, а значит говорить о его геометрических размерах в таком случае крайне затруднительно!

Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение не может быть произведено абсолютно точно, то есть у любого измерения есть погрешность.

Замечание. Также используют эквивалентный термин ошибка измерения (от англ. error). Подчеркнём, что смысл этого термина отличается от общеупотребительного бытового: если физик говорит «в измерении есть ошибка», — это не означает, что оно неправильно и его надо переделать. Имеется ввиду лишь, что это измерение неточно, то есть имеет погрешность.

Количественно погрешность можно было бы определить как разность между измеренным и «истинным» значением длины стержня: $\delta x=x_{\text{изм}}-x_{\text{ист}}$. Однако на практике такое определение использовать нельзя: во-первых, из-за неизбежного наличия погрешностей «истинное» значение измерить невозможно, и во-вторых, само «истинное» значение может отличаться в разных измерениях (например, стержень неровный или изогнутый, его торцы дрожат из-за тепловых флуктуаций и т.д.). Поэтому говорят обычно об оценке погрешности.

Об измеренной величине также часто говорят как об оценке, подчеркивая, что эта величина не точна и зависит не только от физических свойств исследуемого объекта, но и от процедуры измерения.

Замечание.  Термин оценка имеет и более формальное значение. Оценкой называют результат процедуры получения значения параметра или параметров физической модели, а также иногда саму процедуру. Теория оценок является подразделом математической статистики. Некоторые ее положения изложены в главе 3, но для более серьезного понимания следует обратиться к [5].

Для оценки значения физической величины корректно использовать не просто некоторое фиксированное число $x_{\text{изм}}$, а интервал (или диапазон) значений, в пределах которого может лежать её «истинное» значение. В простейшем случае этот интервал может быть записан как

$$x=x_{\text{изм}}\pm \delta x,$$

где $\delta x$ — абсолютная величина погрешности. Эта запись означает, что исследуемая величина лежит в интервале $x\in (x_{\text{изм}}-\delta x;x_{\text{изм}}+\delta x)$ с некоторой достаточно большой долей вероятности (более подробно о вероятностном содержании интервалов см. п. 2.2). Для наглядной оценки точности измерения удобно также использовать относительную величину погрешности:

$${\epsilon }_x=\frac{\delta x}{x_{\text{изм}}}.$$

Она показывает, насколько погрешность мала по сравнению с самой измеряемой величиной (её также можно выразить в процентах: $\epsilon =\frac{\delta x}{x}\cdot 100\%$).

Пример. Штангенциркуль — прибор для измерения длин с ценой деления $\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{1}\mathrm{}\mathrm{\text{мм}}$. Пусть диаметр некоторой проволоки равен $\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{37}$ мм. Считая, что абсолютная ошибка составляет половину цены деления прибора, результат измерения можно будет записать как $d\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{40}\mathrm{\pm }\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{05}\mathrm{}\mathrm{\text{мм}}$ (или $d\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{40}\mathrm{\pm }\mathrm{5}\mathrm{)}\mathrm{\cdot }{\mathrm{10}}^{\mathrm{-}\mathrm{5}}\mathrm{}\mathrm{\text{м}}$). Относительная погрешность составляет $\epsilon \mathrm{\approx }\mathrm{13}\mathrm{\%}$, то есть точность измерения весьма посредственная — поскольку размер объекта близок к пределу точности прибора.

Проведём серию из $n$ одинаковых (однотипных) измерений одной и той же физической величины (например, многократно приложим линейку к стержню) и получим ряд значений

$$𝐱=\{x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n\}.$$

Что можно сказать о данном наборе чисел и о длине стержня? И можно ли увеличивая число измерений улучшить конечный результат?

Если цена деления самой линейки достаточно мала, то как нетрудно убедиться на практике, величины $\left\{x_i\right\}$ почти наверняка окажутся различными. Причиной тому могут быть самые разные обстоятельства, например: у нас недостаточно остроты зрения и точности рук, чтобы каждый раз прикладывать линейку одинаково; стенки стержня могут быть слегка неровными; у стержня может и не быть определённой длины, например, если в нём возбуждены звуковые волны, из-за чего его торцы колеблются, и т. д.

В такой ситуации результат измерения интерпретируется как случайная величина, описываемая некоторым вероятностным законом (распределением). Подробнее о случайных величинах и методах работы с ними см. гл. 2.

По набору результатов $𝐱$ можно вычислить их среднее арифметическое:

(1.1)

Это значение, вычисленное по результатам конечного числа $n$ измерений, принято называть выборочным средним. Здесь и далее для обозначения выборочных средних будем использовать угловые скобки.

Кроме среднего представляет интерес и то, насколько сильно варьируются результаты от опыта к опыту. Определим отклонение каждого измерения от среднего как

Разброс данных относительно среднего принято характеризовать среднеквадратичным отклонением:

$$s=\sqrt{\frac{\mathrm{\Delta }{x}_1^2+\mathrm{\Delta }{x}_2^2+\mathrm{\dots }+\mathrm{\Delta }{x}_n^2}{n}}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i^2}$$

(1.2)

или кратко

(1.3)

Значение среднего квадрата отклонения $s^2$ называют выборочной дисперсией.

Будем увеличивать число измерений $n$ ($n\to \mathrm{\infty }$). Если объект измерения и методика достаточно стабильны, то отклонения от среднего $\mathrm{\Delta }{x}_i$ будут, во-первых, относительно малы, а во-вторых, положительные и отрицательные отклонения будут встречаться примерно одинаково часто. Тогда при вычислении (1.1) почти все отклонения $\mathrm{\Delta }{x}_i$ скомпенсируются и можно ожидать, что выборочное среднее при $n\gg 1$ будет стремиться к некоторому пределу:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\overline{x}.$$

Тогда предельное значение $\overline{x}$ можно отождествить с «истинным» средним для исследуемой величины.

Предельную величину среднеквадратичного отклонения при $n\to \mathrm{\infty }$ обозначим как

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i^2}=\sigma .$$

Замечание. В общем случае указанные пределы могут и не существовать. Например, если измеряемый параметр меняется во времени или в результате самого измерения, либо испытывает слишком большие случайные скачки и т. п. Такие ситуации требуют особого рассмотрения и мы на них не останавливаемся.

Замечание. Если $n$ мало (), для оценки среднеквадратичного отклонения математическая статистика рекомендует вместо формулы (1.3) использовать исправленную формулу (подробнее см. п. 5.2): $$s_{n-1}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i^2,$$ (1.4) где произведена замена $n\to n-1$. Величину $s_{n-1}$ часто называют стандартным отклонением.

Итак, можно по крайней мере надеяться на то, что результаты небольшого числа измерений имеют не слишком большой разброс, так что величина может быть использована как приближенное значение (оценка) истинного значения , а увеличение числа измерений позволит уточнить результат.

Многие случайные величины подчиняются так называемому нормальному закону распределения (подробнее см. Главу 2). Для таких величин могут быть строго доказаны следующие свойства:

• •

  при многократном повторении эксперимента бо́льшая часть измерений ($\sim$68%) попадает в интервал (см. п. 2.2).

• •

  выборочное среднее значение оказывается с большей вероятностью ближе к истинному значению $\overline{x}$, чем каждое из измерений $\left\{x_i\right\}$ в отдельности. При этом ошибка вычисления среднего убывает пропорционально корню из числа опытов $\sqrt{n}$ (см. п. 2.4).

Упражнение. Показать, что (1.5) то есть дисперсия равна разности среднего значения квадрата и квадрата среднего .

Чтобы лучше разобраться в том, нужно ли многократно повторять измерения, и в каком случае это позволит улучшить результаты опыта, проанализируем источники и виды погрешностей.

В первую очередь, многократные измерения позволяют проверить воспроизводимость результатов: повторные измерения в одинаковых условиях, должны давать близкие результаты. В противном случае исследование будет существенно затруднено, если вообще возможно. Таким образом, многократные измерения необходимы для того, чтобы убедиться как в надёжности методики, так и в существовании измеряемой величины как таковой.

При любых измерениях возможны грубые ошибки — промахи (англ. miss). Это «ошибки» в стандартном понимании этого слова — возникающие по вине экспериментатора или в силу других непредвиденных обстоятельств (например, из-за сбоя аппаратуры). Промахов, конечно, нужно избегать, а результаты таких измерений должны быть по возможности исключены из рассмотрения.

Как понять, является ли «аномальный» результат промахом? Вопрос этот весьма непрост. В литературе существуют статистические критерии отбора промахов, которыми мы, однако, настоятельно не рекомендуем пользоваться (по крайней мере, без серьезного понимания последствий такого отбора). Отбрасывание аномальных данных может, во-первых, привести к тенденциозному искажению результата исследований, а во-вторых, так можно упустить открытие неизвестного эффекта. Поэтому при научных исследованиях необходимо максимально тщательно проанализировать причину каждого промаха, в частности, многократно повторив эксперимент. Лишь только если факт и причина промаха установлены вполне достоверно, соответствующий результат можно отбросить.

Замечание. Часто причины аномальных отклонений невозможно установить на этапе обработки данных, поскольку часть информации о проведении измерений к этому моменту утеряна. Единственным способ борьбы с этим — это максимально подробное описание всего процесса измерений в лабораторном журнале. Подробнее об этом см. п. 4.1.1.

При многократном повторении измерении одной и той же физической величины погрешности могут иметь систематический либо случайный характер. Назовём погрешность систематической, если она повторяется от опыта к опыту, сохраняя свой знак и величину, либо закономерно меняется в процессе измерений. Случайные (или статистические) погрешности меняются хаотично при повторении измерений как по величине, так и по знаку, и в изменениях не прослеживается какой-либо закономерности.

Кроме того, удобно разделять погрешности по их происхождению. Можно выделить

• •

  инструментальные (или приборные) погрешности, связанные с несовершенством конструкции (неточности, допущенные при изготовлении или вследствие старения), ошибками калибровки или ненормативными условиями эксплуатации измерительных приборов;

• •

  методические погрешности, связанные с несовершенством теоретической модели явления (использование приближенных формул и моделей явления) или с несовершенством методики измерения (например, влиянием взаимодействия прибора и объекта измерения на результат измерения);

• •

  естественные погрешности, связанные со случайным характером измеряемой физической величины — они являются не столько «ошибками» измерения, сколько характеризуют природу изучаемого объекта или явления.

Замечание. Разделение погрешностей на систематические и случайные не является однозначным и зависит от постановки опыта. Например, производя измерения не одним, а несколькими однотипными приборами, мы переводим систематическую приборную ошибку, связанную с неточностью шкалы и калибровки, в случайную. Разделение по происхождению также условно, поскольку любой прибор подвержен воздействию «естественных» случайных и систематических ошибок (шумы и наводки, тряска, атмосферные условия и т. п.), а в основе работы прибора всегда лежит некоторое физическое явление, описываемое не вполне совершенной теорией.